Teorema de La Incompletitud de Gödel

Uno de los elementos que más influyen en el mundo de la cibernética es la teoría matemática, naturalmente. Y dentro de todos esos postulados matemáticos, ya vimos que hay algunos que tienen particular influencia en el desarrollo de la tecnología y el pensamiento digital. De esos postulados claves para entender el pensamiento lógico del siglo XX y del XXI, notables son los Teoremas de Incompletitud de Gödel. 

Kurt Gödel (1906-1978) fue un matemático checo que hizo grandes aportes a la filosofía científica, y fue un gran estudioso de lo que hoy conocemos como la Teoría de los Conjuntos, y analizada desde la hipótesis del continuo. En lógica matemática, sus "Teoremas de Incompletitud" son dos célebres postulados demostrados hacia principios de los años 1930. Simplificando, el primer teorema afirma:


“En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.”


Fuera del campo de las matemáticas puras, este teorema es uno de los más famosos, y uno de los peor comprendidos. Es un teorema en lógica formal, y como tal es fácil malinterpretarlo. Hay diversas afirmaciones que parecen similares a este primer teorema de incompletitud de Gödel, pero que en realidad no son ciertas. El segundo teorema de la incompletitud de Gödel, que se demuestra formalizando parte de la prueba del primer teorema dentro del propio sistema, afirma:


“Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo.”


Parece obvio, pero esta comprobación fue devastadora para la aproximación filosófica a las matemáticas conocida como el programa de formalización Hilbert. David Hilbert propuso que la consistencia de los sistemas más complejos, tales como el análisis real, se podía probar en términos de sistemas más sencillos. Finalmente, la consistencia de todas las matemáticas se podría reducir a la aritmética básica. El segundo teorema de la incompletitud de Gödel demuestra que la aritmética básica no se puede usar para demostrar su propia consistencia, y por lo tanto tampoco puede demostrar la consistencia de nada más fuerte. 

Aunque esto no pareciera tener influencia en el digitalismo, las consecuencias de estas formulaciones ayudaron al desarrollo de las lógicas de programación que luego servirían para la implementación y aplicación de los programas informáticos, base de la computación contemporánea. De hecho, realizó importantes contribuciones a la Teoría de la Demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuitiva y la lógica modal, todas estas claves para el funcionamiento de los ordenadores de hoy.

De hecho, hay un lenguaje de programación declarativo, de propósito general, que se adhiere al paradigma de la programación lógica, llamado justamente Gödel. Es un lenguaje "tipado", con un sistema de tipos basado en la lógica de múltiples fuentes parametrizadas. Se le dio ese nombre en honor al gran Kurt Gödel.